Mathematik in der Fachoberschule Gestaltung

KLASSE 12 - Schuljahr 2010/2011

Beispiellösung eines Schülers für eine Kurvendiskusion

Didaktische Grundsätze für die Fachoberschule:

Handlungsorientierung, Studienorientierung, Kompetenzorientierung ( Fach- , Sozial-, Human-, Methodenkompetenz). Methodenkompetenz bezeichnet die Bereitschaft und Befähigung zu zielgerichtetem, planmäßigem Vorgehen bei der Bearbeitung von Aufgaben und Problemen.
Ziele für das Fach Mathematik:
Die Schülerinnen und Schüler sollen ausgehend von fachrichtungsbezogenen Problemstellungen grundlegende Fach- und Methodenkompetenz in der Mathematik erwerben.

Lerngebiete im 1. Halbjahr: 12.1 Ganzrationale Funktionen 12.2. Differenzialrechnung

Beispiel: Eine nach oben geöffnete Normalparabel p₁ verläuft durch die Punkte P (-1 / 6) und Q (2 / 3). Die Parabel p₂ ist durch die Gleichung f( x) = - x² + 6x – 5 mit x ε IR gegeben. Weisen Sie nach, dass sich die Parabeln p₁ und p₂ in B berühren.

Die Unterrichtsinhalte begründen sich auf die in der Realschule, in der Berufsausbildung oder in der FOS 11 ausgezeichneten Unterrichtsinhalte der Rahmenlehrpläne.

Studienorientierung:
Das Ziel der Fachoberschule, die Lernenden zur Studierfähigkeit zu
führen, verlangt eine Orientierung der Lern- und Lehrprozesse an den Prinzipien der Wissenschaft.

Fachkompetenz:
● Symbol- und Fachsprache kennen,
verstehen und anwenden
● fachspezifische Methoden und
Verfahren kennen und zur Ergebnis-
sicherung nutzen
● Verfahren zum selbstständigen Lernen
und zur Reflexion über Lernprozesse
kennen und einsetzen
● Zusammenhänge erarbeiten und
erkennen sowie ihre Kenntnis bei der
Problemlösung nutzen

Beispiel:
Einen genauen Überblick über den
Funktionsverlauf einer Fkt. (z.B. als Graph ) erhält man durch die
Kurvendiskussion. Folgende Kriterien sind zu untersuchen:
- ist die Definitionsmenge vorgegeben oder wie kann sie definiert werden
- gibt es Symmetrieeigen-schaften, die die Untersuchung vereinfachen
- wo schneidet der Fkt .- Graph die Koordinatenachsen
- gibt es lokale Extremwerte und wo liegen diese
- wo steigt, wo fällt der Funktionsgraph
- gibt es Wendepunkte oder Sattelpunkte und wo liegen diese
- wie verläuft der Funktionsgraph am Rand der Definitionsmenge
- welches ist die Wertemenge

Ganzrationale Funktionen

Funktionen als eineindeutige Zuordnung - Definitions- und Wertebereich - Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen - Nullstellen, Achsenabschnittpunkt - Symmetrieeigenschaften
Lineare Funktionen - Gleichungen linearer Funktionen aus Texten und Daten - Bedeutung von m und b in f (x) = mx + b - Anwendungsbezogene Problemstellungen - Familie der Vierecke
Quadratische Funktionen - Unter- und überproportionale Entwicklung der Fkt.-Werte - Normalparabel und ihre Symmetrieeigenschaften - Öffnung, Dehnung, Stauchung, Verschiebung, - Anwendung in der Gestaltungspraxis - Gleichungen quadratischer Funktionen aus Texten und Daten - Linearfaktoren
Ganzrationale Funktionen - Potenzfunktionen - Verlauf eines Graphen - Polynomform und Polynomdivision - Linearfaktoren und Faktorisierung - Substitution - Anwendung in der Gestaltungspraxis - Funktionen nach vorgegebenen Bedingungen - Einfache Untersuchungen Minima und Maxima

Differenzialrechnung

- Grenzwerte von Funktionen - Steigung - Ableitungsfunktion und Ableitungsregeln (Potenz-, Faktoren-, Summen- und Differenzenregel) - Differenzenregel - Höhere Ableitungen und deren Graphen - Funktionsanalyse ( Kurvendiskussion) - Lokale Extremwerte - Wendepunkte, Sattelpunkte - Funktionen nach vorgegebenen Bedingungen - Extremwertaufgaben in der Gestaltungspraxis

LEISTUNGSBEWERTUNG

1. Halbjahr

Schriftliche Leistungsnachweise ( 2 Wertungen von 3 Möglichkeiten) 70%

Klassenarbeit Nr. 1 35%
Klassenarbeit Nr. 2 35 %

Portfolio 35% bestehend aus:
Gestalteter Einband
Ein Fachaufsatz zu einem der folgenden Themen (vorgegeben)
a) Arbeiten mit dem Tabellenbuch, beispielhaft an
a1) einer Definition aus dem Bereich Potenzfunktionen
a2) einem Lehrsatz aus dem Bereich Binomen
a3) einer abgeleiteten Formel aus dem Bereich Parabeln
b) Arbeiten mit dem Unterrichtswerk
b1) Beispielaufgaben: Ganzrationale Funktionen (ohne
Differenzialrechnung) und Verweise zu Übungsaufgaben
b2) Beispielaufgaben: Differenzialrechnung und Verweise zu Übungsaufgaben
Eine Übungseinheit zu einem der folgenden Themen (vorgegeben)
a) Die Parabel, analytische und graphische Nachweise
b) Die regulären Kegelschnitte und ihre Beziehungen in der Mathematik
(Parabel und einen weiteren Kegelschnitt auswählen)
Fünf Hausaufgaben als musterhafte Ausarbeitung mit Angabe der Quelle, vollständig beschrieben und Gelöst, Querverweise, Datum der Aufgabenstellung

Sonstige Leistungen 30%
Mitarbeit, Kurzreferate, Übungsaufgaben, Präsentationen

Übungen / Workshop
Ein Samstag zwischen Herbst- und Weihnachtsferien

Lerngebiete im 2. Halbjahr: Übergang aus dem 1.Halbjahr 12.3 Integralrechnung 12.4 Gebrochen-rationale Funktionen 12.5 Trigonometrie

Beispiel: Eine nach oben geöffnete Normalparabel p₁ verläuft durch die Punkte P (-1 / 6) und Q (2 / 3). Die Parabel p₂ ist durch die Gleichung f( x) = - x² + 6x – 5 mit x ε IR gegeben.
a) Weisen Sie nach, dass sich die Parabeln p₁ und p₂ in B berühren.
b) Der Parabelbogen der Parabel p₁ zwischen den Punkten A und B sowie der Parabelbogen der Parabel p₂ zwischen den Punkten B und C schließen mit der x – Achse ein Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl für den Flächeninhalt des Flächenstückes. Punkt A ist der Schnittpunkt der Parabel p₁ mit der y- Achse. Punkt C ist der Schnittpunkt der Parabel p₂ mit der y- Achse.

Integralrechnung

Bestimmtes Integral - Stammfunktion - Zusammenhang zwischen Integralrechnung und Differenzialrechnung - Rechenregeln der Integralrechnung - Substitutionsprinzip - Maßzahl von Flächen zwischen Graphen ganzrationaler Funktionen - Anwendungen in der Technik, einfache Beispiel aus fremden Fachrichtungen - Anwendungen in der Gestaltungspraxis

Gebrochen - rationale Funktionen (optional)

- Fotografieren und Mathematik -Definitionsbereiche - Verhalten am Rand des Definitionsbereiches - Polstellen - Hebbare Definitionslücken - Asymptotisches Verhalten - Quotientenregel, Kettenregel - Höhere Ableitungen - Umfassende Kurvendiskussionen - Funktionen nach vorgegebenen Bedingungen

Trigonometrische Funktionen (optional)

- Funktionstyp f(t) = a * sin t + a0 - Auswirkung der Parameter auf den Verlauf der Graphen - Arcus - Rechenoperationen - Bogenmaß - Additionstheoreme - Ableitung der Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion - Kettenregel - Trigonometrische Gleichungen (Sinus- und Kosinussatz)

Lerngebiete im 2.Halbjahr, Ergänzungen
Ergänzungen: Analytische Geometrie	Ergänzungen: Exponentialfunktionen
- Vektorbegriff, Betrag, Richtung, Richtungssinn - Ortsvektor, Nullvektor - Vektoroperationen - Vektorielle Geradengleichung - Parabel als geometrischer Ort - Kegelschnitte und analytischen Darstellung - Schnittbestimmung von Geraden	- Graphen einfacher Exponentialfunktionen - Fkt. der Form f(x) = cxⁿ a^mx mit n < = 2 - Ermittlung markanter Punkte - Asymptotisches Verhalten - Anwendung der e-Funktion - Natürliche Logarithmus-Funktion (Umkehrfkt.) - Potenz- und Logarithmus-Gesetze - Ableitungen mithilfe der Potenz- und Kettenregel

LEISTUNGSBEWERTUNG

2. Halbjahr

Schriftliche Leistungsnachweise ( 2 Wertungen von 3 Möglichkeiten) 70%

Klassenarbeit Nr. 1 35%
Klassenarbeit Nr. 2 35 %

Als Ersatzleistung für eine entschuldigt versäumte Klassenarbeit (nach Zuweisung)
Referat 35% bestehend aus
- Gestalteter Einband
- Schriftliche Ausarbeitung (mit Möglichkeit der Vorkorrektur)
- Präsentation ( mind. 20min, max. 30min )
- Schülerhandout (max. zwei Seiten) mit Übungsaufgaben einschließlich Lösungen
- Themenausgabe im Februar; Themenbereich: Gebrochen - rationale Funktionen (Einführung; Quotientenregel; Kettenregel; hebbare Lücke)

Übungen / Workshop
Ein Samstag zwischen Februar und Osterferien

Sonstige Leistungen 30%
Mitarbeit, Kurzreferate, Übungsaufgaben, Präsentationen

LEISTUNGSBEWERTUNG für das FOS-Jahreszeugnis

Regelfall ohne mündliche Prüfung
Vornote (Gewichtung 2) aus den Halbjahresnoten des ersten und zweiten Halbjahres
Schriftliche Prüfung (Gewichtung 1)

Regelfall mit mündliche Prüfung
Vornote (Gewichtung 40%) aus den Halbjahresnoten des ersten und zweiten Halbjahres
Schriftliche Prüfung (Gewichtung 30%)
Mündliche Prüfung ( Gewichtung 30%)

Lernsituation
Beispiel: Beschreibung der Lernsituation	Angestrebte Kompetenzen	Lerninhalte
Definition: Eine Vorschrift, die jeder reellen Zahl aus einer Zahlenmenge D genau eine reelle Zahl zuordnet, nennt man Funktion. Situationsbeschreibung: Zwei zylinderförmige Gefäße werden mit einer Flüssigkeit gefüllt. Jeder Behälter hat eine Grundfläche von 1dm² und ist 85cm hoch. Der jeweilige Zufluss ist konstant. Der zeitliche Verlauf des Flüssigkeitsstandes lässt sich mathematisch exakt beschreiben. Auftrag: Geben Sie für jedes Gefäß die Höhe des Flüssigkeitsstandes als Funktion der Zeit an! Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen in ein Koordinatensystem! Erreicht der Flüssigkeitsstand des zweiten Gefäßes die Höhe des ersten Gefäßes, bevor das Wasser überläuft?	Durch selbstständige Organisation des Materials, Erstellen einer überlegten Planung und durchgehend sinnvollen Einsatz von Arbeits-material und Arbeits-mitteln soll die (Sach- /Fach- und Methoden-kompetenz für die Materialbeschaffung und deren Einsatz aufgebaut bzw. erhöht werden. Die Selbstkompetenz soll durch die konzen-trierte Arbeit über einen längeren Zeitraum und die konsequente und zielgerichtete Arbeit an den Aufgaben gefördert werden. Hinweis : Nutzen Sie die gegebenen Dateien und Ihr Mathematikbuch zur Lösung der gestellten Aufgaben!	Für alle ganzrationalen Funktionen - Funktion als eindeutige Zuordnung - Definitions- und Wertebereich - Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen - Gleichung - Wertetabelle - Graph im Koordinatensystem - Transformation zwischen den Darstellungsmöglichkeiten - Nullstelle(n) - Achsenschnittpunkte Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen - Symmetrieeigenschaften - Symmetrie zur Ordinatenachse - Symmetrie zum Koordinatenursprung - für lineare Funktionen Gleichungen linearer Funktionen aus Texten und Daten Bedeutung von m und b in f(x)=mx+b Quadratische Funktionen über- und unterproportionale Entwicklung der Funktionswerte Normalparabel und ihre Symmetrieeigenschaft

Lernfeld 12.1: Ganzrationale Funktionen ca. 40 U.-Std.

Informationsquellen und Arbeitsmethoden
→ Bezug zum Unterrichtsfach Deutsch: Textverständnis - Arbeitstechniken – Dokumentation
→ Bezug zum berufsbezogenen Bereich: Auswahl der Aufgabenstellung (Technik; Gestaltung)
Durch gezielte Inputphasen soll den Schülerinnen und Schülern der Zugang zu schwierigen Themenbe-reichen erleichtert werden. Diese Inputphasen sollen aber nur auf Anfrage seitens der Schüler/innen initiiert werden. Die Lehrerrolle soll sich so weit wie möglich auf folgende Tätigkeitsbereiche während der Mathematik Unterrichtsstunde beschränken:
Auftraggeber - Informationsquellen bereitstellen - Referent für den Input - Berater - Zeitgeber - Beurteilender

Buchempfehlungen

Der Bücherschrank im Mathematikraum steht allen Schülerinnen und Schülern zur freien Verfügung.

Die Mediothek hat einen großen Bestand aktueller Mathematikbücher für den Unterricht in der Fachoberschule und in der gymnasialen Oberstufe.

An der PIN-Wand im Mathematikraum hängen Übungsaufgaben aus, die völlig zwanglos zum Nachsehen abgegeben werden können.

BÜCHEMPFEHLUNG:

Lambacher/Schweizer: Mathematik in der Fachoberschule, Gesamtband, Klett, 2008
Schiemann, Bernd; u.a.: Mathematik für die Fachhochschulreife, Europa-Lehrmittel, 2007